Tia đối là một trong những bài học được dạy đầu tiên các bạn học sinh ở phần hình học của chương trình Toán lớp 6. Chính vì vậy, đây là kiến thức cực kỳ mới nên nhiều bạn học sinh còn khá bỡ ngỡ. Nhưng đây là một kiên thức mới rất đơn giản để tiếp thu được. Vậy tia đối là gì? Để hiểu rõ hơn về định nghĩa tia đối và các dạng toán thường gặp thì hãy cùng tìm hiểu bài viết sau đây.
Khái niệm tia đối là gì?
Khái niệm một tia
Hình vẽ bao gồm một điểm O và một phần đường thẳng bị chia tách ra bởi O là một tia gốc O. Khi viết (hay đọc) tên một tia, phải đọc hay viết phần tên gốc trước.
Hình bao gồm điểm A và một phần của đường thẳng bị chia cắt ra bởi điểm A được gọi là một từ tia gốc A, tia đó còn có thể được gọi là một nửa đường thẳng gốc A. Ví dụ khi viếtthì sẽ viết tia Ax (tên gốc là A).
Cách vẽ của tia Ax:
- Bước 1: Đầu tiên ta thực hiện vẽ một điểm A.
- Bước 2: Đặt cạnh của cây thước thẳng đi qua điểm A. Vạch một đường thẳng theo cạnh thước bắt đầu từ A.
- Bước 3: Ghi thêm một chữ x vào cuối nét vẽ.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ của tia Ax trong hình dưới đây ta thấy: Tia Ax gồm có một điểm A, điểm M và tất cả các điểm khác đang nằm cùng phía với M đối với A.
Ngoài ra, tia Ax cũng còn có thể được kí hiệu là tia AM.
Khái niệm tia đối là gì?
Tia đối là các tia được định nghĩa là hai tia cùng có chung một gốc O đối nhau và cùng tạo ra đường thẳng. Hai tia nếu như có chung gốc Ox và Oy tạo thành một đường thẳng xy thì sẽ gọi là hai tia đối nhau.
Như vậy, mỗi điểm trên đường thẳng sẽ là góc chung của hai tia đối nhau. Nếu như một điểm A thuộc Ox (A khác X) thì hai tia là Ox và OA trùng nhau.
Lưu ý về quan hệ đặc biệt giữa một điểm nằm giữa hai điểm cũng như hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau.
Cho đường thẳng mn, ở trên đường thẳng mn ta sẽ lấy điểm O. Ta thấy điểm O và chia đường thẳng mn thành hai phần, mỗi phần cùng với điểm sẽ O tạo thành một tia. Khi đó hai tia là Om và On sẽ được gọi là hai tia đối nhau.
Ta nói: Tia Om chính là tia đối của tia On hoặc tia On chính là tia đối của tia Om hoặc tia Om cùng với tia On là hai tia đối nhau.
Như vậy thì hai tia đối nhau sẽ chính là hai tia chung gốc và tạo thành một đường thằng.
Ví dụ: Để vẽ được hai tia Au và Av đối nhau thì ta làm như sau:
- Bước 1: Đầu tiên ta thực hiện vẽ đường thẳng uv
- Bước 2: Sau đó lấy một điểm A bất kỳ thuộc trên đường thẳng uv
Khi đó ta có thể nhận được 2 tia đối nhau chung gốc A là Au và Av.
Lưu ý rằng với mỗi điểm A bất kỳ nằm ở trên đường thẳng ta luôn có A là gốc chung của hai tia đối nhau
Cách vẽ và nhận biết tia, tia đối hay tia trùng nhau
Phương pháp để vẽ các dạng tia là
Cách vẽ tia
- Bước 1: Kẻ một đường thẳng;
- Bước 2: Trên đường thẳng đã kẻ lấy một điểm bất kì gọi là điểm gốc.
Cách nhận biết hai tia đối nhau
Để nhận biết và chỉ ra 2 tia đối nhau ta phải chứng tỏ được hai tia đó nằm trên cùng một đường thẳng, có chung gốc và cả hai điểm còn lại ở hai phía là đối nhau của điểm gốc.
Cách nhận ra hai tia trùng nhau
Để nhận biết chỉ ra 2 tia trùng nhau ta phải chứng tỏ hai tia đó đang nằm trên cùng một đường thẳng, có chung gốc và hai điểm còn lại của hai tia này nằm ở cùng một phía của điểm gốc.
Các dạng bài tập vận dụng
Dạng 1: Dựa vào khái niệm xác định được các tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau
Phương pháp giải: Dựa vào các khái niệm đã giải thích ở mục trên đây và từ đó đối chiếu với hình vẽ đề cho kiểm tra xem đâu là tia, tia đối, tia trùng nhau.
Ví dụ 1: Dựa vào hình vẽ dưới đây và hãy cho biết:
a) Trên hình vẽ có tất cả là bao nhiêu tia? Đó sẽ là các tia nào?
b) Trong hình vẽ trên đây có bao nhiêu cặp tia đối nhau? Đó chính là các tia nào?
c) Trong hình vẽ trên đây có bao nhiêu tia trùng với tia Pz? Đó chính là các tia nào?
Lời giải
a)
- Với gốc P ta sẽ có tia Pz (hay tia PM, PK).
- Với gốc M ta sẽ có tia MP và Mz (hay MK).
- Với gốc K ta sẽ có tia KP (hay KM) và tia Kz.
Như vậy trong hình vẽ ở ngay trên có 5 tia. Đó chính là các tia: Px, MP, Mz, KP, Kz.
b) Với gốc M ta sẽ có hai tia MP và tia Mz (hay MK) đối nhau.
Với gốc K ta sẽ có hai tia Kz và tia KP (hay KM) đối nhau.
Như vậy trong hình vẽ ở trên có được 2 cặp tia đối nhau. Đó chính là các tia: MP và Mz; Kz và KP.
c) Trong hình vẽ trên đây có 2 tia cùng trùng với tia Pz. Đó chính là các tia: PM và PK.
Ví dụ 2. Cho hình vẽ như phía dưới đây. Hãy xác định ra các cặp tia đối hoặc trùng nhau có trong hình vẽ.
Lời giải
Ta sẽ có hai tia KM và Kr là tia trùng nhau. Hai tia KN và Ks là hai tia đối nhau.
Ví dụ 3. Dựa vào hình vẽ cho ở dưới đây và trả lời câu hỏi:
a) Hai tia DE và Dp có xác định phải là hai tia trùng nhau không? Vì sao?
b) Hai tia Dz và Fz có xác định phải là hai tia trùng nhau không? Vì sao?
c) Hai tia Em và Ep có xác định phải là hai tia đối nhau không? Vì sao?
d) Hai tia Dm và và Dz có xác định phải là hai tia đối nhau không? Vì sao?
Lời giải
a) Hai tia DE và Dp xác định là hai tia trùng nhau. Vì hai tia DE và Dp có cùng chung gốc D và điểm E nằm trên tia Dp.
b) Hai tia Dz và Fz không phải xác định là hai tia trùng nhau. Vì hai tia Dz và Fz không hề có chung gốc.
c) Hai tia Em và Ep xác định là hai tia đối nhau. Vì hai tia Em và Ep có cùng chung gốc E và hai tia này tạo thành đường thẳng.
d) Hai tia Dm và Dz không phải xác định là hai tia đối nhau. Vì hai tia này có cùng chung gốc D nhưng không tạo thành một đường thẳng.
Dạng 2: Vẽ các tia đối nhau, trùng nhau theo một số điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
Dựa vào yêu cầu của đề dặt ra, xác định gốc chung của hai tia:
- Nếu yêu cầu vẽ hai tia đối nhau thì bắt đầu từ gốc chung ta đặt thước vẽ hai tia kéo dài về hai phía hướng ngược lại.
- Nếu yêu cầu vẽ hai tia trùng nhau thì bắt đầu từ gốc chung ta đặt thước vẽ hai tia cùng kéo dài về cùng một phía.
Ví dụ 1. Vẽ hình theo các yêu cầu đã nêu sau và trả lời câu hỏi:
- Vẽ đường thẳng uv và một điểm F vị trí bất kỳ trên đường thẳng đó.
- Trên tia đối của tia Fu thực hiện lấy điểm D bất kỳ khác điểm F.
- Vẽ điểm E nằm ngay trên đường thẳng uv sao cho E nằm ở bên khác phía D đối với điểm F.
a) Trên hình vẽ, các tia nào là tia trùng với tia Du?
b) Kể tên ra các cặp tia đối nhau là tia có chung gốc E.
Lời giải
a) Trên hình vẽ, các tia trùng với tia Du xác định là tia DF và tia DE.
b) Các cặp tia đối nhau xác định có chung gốc E là tia Eu và tia EF; tia Eu và tia ED; tia Eu và tia Ev.
Ví dụ 2.
a) Vẽ hai tia Ux và Uz là tia đối nhau. Khi đó hai tia Ux và Uz xác định có bao nhiêu điểm chung?
b) Vẽ hai tia MN và MP là hai tia trùng nhau. Khi đó hai tia MN và MP xác định có bao nhiêu điểm chung?
c) Vẽ hai đường thẳng mn và uv có điểm cắt nhau tại K. Khi đó điểm K xác định là gốc chung của bao nhiêu tia đối nhau?
Lời giải
a)
Hai tia Ux và Uz xác định có một điểm chung là điểm U.
b)
Hai tia MN và MP xác định có vô số điểm chung.
c)
Điểm K là gốc chung sẵn có của hai cặp tia đối nhau là tia Km và tia Kn; tia Ku và tia Kv.
Ví dụ 3. Trong các câu sau, hãy cho biết câu nào sau đây đúng, câu nào sai. Vì sao?
1) Hai tia Ox và Oy xác định chung gốc thì đối nhau.
2) Hai tia Ox và Ay nằm ngay trên cùng một đường thẳng thì đối nhau.
3) Hai tia Ox và Oy nằm ngay trên đường thẳng xy và chung gốc O được gọi là hai tia đối nhau.
Lời giải
Hai tia đã muốn được gọi là hai tia đối nhau phải thỏa mãn :
- Hai tia đó đã tạo thành một đường thẳng;
- Có chung một gốc là điểm thuộc đường thẳng đó.
Vậy:
Câu 1) sai, vì câu này chỉ thỏa mãn điều kiện (2) ( chung gốc);
Câu 2) sai, vì câu này chỉ thỏa mãn điều kiện (1) ( không chung gốc);
Câu 3) đúng, vì câu này thỏa mãn cả hai điều kiện trên.
Ví dụ 4. Vẽ hai đường thẳng là đường xy và mn cắt nhau tại O.
1) Kể tên các cặp tia đối nhau.
2) Trên tia On lấy một điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Kể tên các cặp tia trùng nhau
3) Biết điểm O nằm là điểm giữa hai điểm B và C.
Lời giải
1) Các cặp tia đối nhau chính là :
- Tia Ox xác định là tia đối của tia Oy;
- Tia Om xác định là tia đối của tia On.
2) Các tia trùng nhau là :
- Tia OA xác định trùng tia On;
- Tia OB xác định trùng tia Oy.
3) Muốn có một điểm O nằm giữa hai điểm B và C, thì cả ba điểm O, B, C phải thẳng hàng. Mà
- O và B nằm ở ngay trên đường thẳng xy, vậy C phải nằm ở trên đường thẳng xy.
- O nằm giữa B và C, nên C cũng phải thuộc tia đối của tia OB. Vậy C chắc chắn phải nằm trên tia Ox.
Từ đó suy ra cách tìm ra được điểm C là điểm bất kì trên tia Ox.
Ví dụ 5. Cho ba điểm M, N, P vẽ thẳng hàng theo thứ tự đó.
a) Viết tên của các tia đối gốc M, gốc N, gốc P.
b) Viết tên của hai tia đối nhau gốc N.
c) Viết tên của các tia trùng nhau
Lời giải
a) Các tia có gốc là tia MN, tia MP
Các tia có gốc N là tia NM, tia NP
Các tia có gốc P là tia PM, tia PN
b) Hai tia là tia đối nhau gốc N là tia NM và tia NP.
c) Tia MN và tia MP là hai tia trùng nhau, tia PN và tia PM trùng nhau.
Như vậy, bài viết trên đây đã tổng hợp kiến thức về tia, tia đối là gì cũng như đưa ra một số dạng toán thường hay gặp phải. Hy vọng những kiến thức trên đây sẽ có thể giúp các bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập phần này.